Глагол «смириться» имеет такой же корень, что и слова «примириться», «примирение». Все они образованы от слова «мир», это так или иначе видно в их значении. Смириться — значит прекратить сопротивление, принять чьи-то условия, что способствует установлению мира. Смериться — смириться
Писать в конце глаголов ТЬСЯ или ТСЯ, можно легко определить, задав к глаголу вопрос: «что делать? — заботиться», «что делает? — заботится». Если в вопросе есть мягкий знак, значит, это инфинитив и пишется через ТЬСЯ. Если в вопросе нет мягкого знака, то его нет и в глаголе. Пример: нужно заботиться о домашних животных; он заботится о своей собаке. Заботиться — заботится
Наречие «впервые» пишется слитно и произносится с ударением на Ы. Пример: Впервые за долгие годы ему удалось победить. Прилагательное с предлогом «в первые» с ударением на первый слог пишется раздельно. Пример: В первые дни ему было абсолютно нечего делать. В первые — впервые
Несмотря на то что слово «на бегу» является наречием, пишется оно раздельно. Запомните: все наречия движения с предлогом НА пишутся раздельно. Пример: на бегу, на ходу, на лету и т. д. Набегу — на бегу
С Днём Победы, товарищи! 
Мир спас Советский солдат!
Орфограммка